白露泠泠《第三章 毕达哥拉斯》[MP3_LRC]

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[00:01.97]毕达哥拉斯的最伟大的发现
[00:04.83]或者是他的吉门弟子的最伟大的发现
[00:08.43]就是关于直角三角形的命题
[00:11.59]即直角两加边的平方的和等于另一边的平方
[00:16.14]即弦的平方
[00:18.33]埃及人已经知道
[00:19.73]三角形的边长若为三
[00:21.85]四 五的话
[00:23.47]则必有一个直角
[00:25.49]但是显然
[00:26.73]埃及人是最早观察到三的平方加四的平方等于五的平方的
[00:33.48]并且根据这一提示发现了这个一般命题的证明
[00:38.74]然而不幸
[00:40.00]毕达哥拉斯的定理立刻引到了不可公约数的发现
[00:44.94]这似乎否定了它的全部哲学
[00:48.30]在一个等边直角三角形里
[00:51.02]弦的平方等于每一边平方的两倍
[00:55.21]让我们假设每边长一寸
[00:57.89]那么弦应该有多么长呢
[01:00.83]让我们假设它的长度是m除n
[01:04.39]那么m的平方除n的平方等于二
[01:08.36]如果m和n有一个公约数
[01:11.14]我们可以把它消去
[01:13.22]于是m和n必有一个是奇数
[01:16.84]现在m平方等于二n的平方
[01:20.46]因么m的平方是偶数
[01:23.16]所以m也是偶数
[01:25.42]因此n就是奇数
[01:28.10]假设m等于p平方
[01:30.54]那么四p平方等于二n平方
[01:33.62]因此n平方等于二p平方
[01:36.80]而因此n便是偶数
[01:39.45]以假设相反
[01:41.39]所以就没有m除n的分数可以约进弦
[01:45.97]以上的证明
[01:47.61]实质上就是欧几里得第十编中的证明
[01:52.47]这种论证就证明了
[01:54.37]无论我们采取什么样的长度单位
[01:57.43]总会有些长度对于那个单位不能具有确切的数目关系
[02:02.91]也就是说
[02:04.07]不能有两个整数MN
[02:07.05]从而使问题中的m倍的长度等于n倍的单位
[02:12.14]这就使得希腊的数学家们坚信
[02:15.00]几何学的成立必定是独立的
[02:17.76]而与算学无关
[02:20.02]柏拉图对话录中有几节可以证明
[02:23.52]在他那时候已经有人独立的处理几何学了
[02:28.17]几何学完成于欧几里得
[02:30.97]欧几里得在第二遍中从几何上证明了许多我们会自然而然用代数来证明的东西
[02:38.87]例如括号a加b反括号的平方等于a的平方加二AB加b的平方
[02:47.39]正是因为有不可公约数的困难
[02:50.29]他才认为这种办法是必要的
[02:54.03]他在第五编
[02:55.32]第六编中论比例时
[02:57.61]情形也是如此
[03:00.47]整个体系在逻辑上是醒目的
[03:03.51]并且已经预示着十九世纪数学家们的严谨了
[03:08.27]只要关于不可公约数还没有恰当的算写理论存在时
[03:13.29]则欧几里得的方法便是几何学中最好的可能方法
[03:19.01]当笛卡尔介绍了坐标几何学
[03:21.69]从而再度确定了算学至高无上的地位时
[03:25.77]他曾设想不可公约数的问题有解决的可能性
[03:30.83]虽然他在那时候还曾不曾发现这种解法
[03:36.06]几何学对于哲学与科学方法的影响一直是深远的
[03:41.68]希腊人所建立的几何学是从自明的或者被认为是自明的公理出发
[03:48.68]根据演绎的推理前进而达到那些远不是自明的定理
[03:54.42]公理和定理被认为对于实际空间是真确的
[03:59.40]而实际空间又是经验中所有的东西
[04:03.20]这样首先注意到自明的东西
[04:06.52]然后再运用演绎法
[04:08.84]就好像是可能发现实际世界中一切事物了
[04:13.40]这种观点影响了柏拉图和康德
[04:16.62]以及他们两人之间的大部分的哲学家
[04:19.88]嗯
[04:20.34]独立宣言说
[04:22.00]我们认为这些真理是自明的
[04:25.14]其本身便脱胎于欧几里得
[04:28.22]十八世纪天赋人权的学说就是一种在政治方面追求欧几里德式的公理牛顿的原理一书
[04:37.32]尽管它的材料供认是经验的
[04:40.26]但是它的形式却完全是被欧几里得所支配着的严格的经验形式的神学
[04:47.28]其体材也出自同一个来源
[04:50.55]个人的宗教得自天人感通
[04:53.49]神学则来自数学
[04:55.93]而这两者
[04:57.01]都可以在毕达哥拉斯的身上找到
[05:01.06]我相信
[05:02.10]数学是我们信仰永恒的与严格的真理的主要根源
[05:07.46]也是信仰有一个超感的可知的世界的主要根源
[05:12.24]几何学讨论严格的圆
[05:14.86]但是没有一个可感觉的对象是严格的圆形的
[05:19.26]无论我们多么小心谨慎的使用我们的圆规
[05:23.04]总会有某些不完备和不规则的
[05:26.39]嗯
[05:27.25]这就提示了一种观点
[05:29.47]即一切严格的推理只能应用于与可感觉的对象相对立的理想对象
[05:36.17]很自然的
[05:37.21]可以再进一步论证说
[05:39.45]思想要比感官更高贵
[05:41.93]而思想的对象要比感官知觉的对象更真实
[05:46.97]神秘主义关于时间与永恒的关系的学说
[05:51.01]也是被纯粹数学所巩固起来的
[05:54.35]因为数学的对象
[05:56.03]例如数
[05:57.31]如其是真实的话
[05:59.31]必然是永恒的
[06:00.73]而不在时间之内
[06:02.78]这种永恒的对象就可以被想象成为上帝的思想
[06:07.69]因此
[06:08.51]柏拉图的学说是上帝是一位几何学家
[06:12.89]而詹姆士
[06:13.87]琴斯爵士也相信上帝
[06:16.15]嗜好算学
[06:18.22]与启示的宗教相对立的理性主义的宗教
[06:22.10]自从毕达格拉斯之后
[06:24.16]尤其是从柏拉图之后
[06:26.54]一直是完全被数学和数学方法所支配着的
[06:31.85]数学与神学的结合开始与毕达哥拉斯
[06:35.73]它代表了希腊的
[06:37.39]中世纪的以及值契康德为旨的近代的宗教哲学的特征
[06:43.27]毕达哥拉斯以前的奥尔弗斯教义类似于亚洲的神秘教
[06:48.35]但是在柏拉图
[06:50.83]申 奥古斯丁
[06:52.35]托马斯
[06:52.99]阿奎纳
[06:53.91]笛卡尔
[06:54.95]斯宾诺莎和康德的身上
[06:57.57]都有着一种宗教与推理的密切交织
[07:01.41]一种道德的追求与对于不同时间性的事物之逻辑的崇拜的密切交织
[07:08.48]这是从毕达哥拉斯而来的
[07:10.88]并使得欧洲的理智化了的神学与亚洲的更为直接了当的神秘主义区别开来
[07:18.10]只是到了最近的时期
[07:20.26]人们才可以准确的说出毕达哥拉斯错在哪里
[07:24.68]我不知道还有什么别人对于思想界有过像他这么大的影响
[07:30.36]我所以这么说
[07:31.80]是因为所谓柏拉图主义的东西
[07:34.36]倘若加以分析
[07:35.98]就可以发现
[07:37.22]在本质上不过是毕达哥拉斯主义罢了
[07:41.55]有一个只能显示与理智
[07:43.71]而不能显示与感官的永恒世界
[07:46.83]全部的这一观念
[07:48.55]都是从毕达哥拉斯那里得来的
[07:51.96]如果不是他
[07:53.28]**徒便不会认为**就是道
[07:56.68]如果不是他
[07:58.02]神学家就不会追求上帝存在与灵魂不朽的逻辑证明
[08:03.88]但是在他的身上
[08:05.48]这一切还都不显著
[08:07.88]下面就要谈到这一切是怎样变得显著的